Anche in questo caso effettuiamo la sostituzione con la method parametrica dette nell’esercizio precedente:
Primitiva di una funzione / Integrali indefiniti immediati / Definizione e proprietà dell'integrale definito / Teorema della media integrale / Definizione e proprietà dell'integrale indefinito / Teorema fondamentale del calcolo integrale
Questi ultimi esercizi dell’integrazione for each sostituzione sono particolari e da imparare a memoria, e c’è da dire che escono quasi mai nelle verifiche.
Questa semplificazione è potente perché riduce il problema del calcolo di un integrale doppio su una regione complessa a due problemi di calcolo di integrali singoli, che sono spesso più semplici da risolvere. La chiave sta nell’essere in grado di descrivere la regione di integrazione $ K $ in termini di funzioni che limitano $ K $ normalmente rispetto all’asse di integrazione.
E’ inoltre sempre bene ricordare l’importanza di una buona conoscenza delle funzioni elementari e delle loro proprietà. Nessun problema: qui su Altramatica potete trovare delle ampie sezioni che trattano le funzioni elementari:
Prima di rimandarvi all'elenco di schede che avete a disposizione, un rapido riepilogo. A meno che non sia diversamente specificato, gli esercizi svolti sugli integrali si rivolgono sia agli studenti delle scuole superiori che agli universitari che devono sostenere i corsi di Analisi 1.
Le lezioni disponibili in questa sezione esercizi svolti sugli integrali impropri sono realizzate sia for every gli studenti delle scuole superiori, sia for each gli studenti universitari.
Per le coordinate sferiche bisogna tenere conto che il determinante della matrice Jacobiana è dato da $
Primitiva di una funzione / Integrali indefiniti immediati / Definizione e proprietà dell'integrale definito / Teorema della media integrale / Definizione e proprietà dell'integrale indefinito / Teorema fondamentale del calcolo integrale
Integrale doppio con coordinate polari, compreso tra circonferenza e retta e integranda con arcotangente
Per completezza, ecco alcuni esercizi su integrali definiti da risolvere con il metodo di sostituzione. Attenzione perché in questo caso gli estremi di integrazione vanno sostituiti coerentemente con la sostituzione adottata.
In particolare Guldino, grazie ai suoi teoremi è riuscito a mettere in relazione l’place della superficie e la lunghezza della curva, con quantity e superficie laterale del solido attraverso il baricentro e la distanza di esso dall’asse di rotazione.
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Questi calcoli trovano applicazione in vari campi dell’ingegneria e della fisica, appear nella determinazione del centro di massa di strutture o oggetti complessi, dove il baricentro gioca un ruolo chiave nell’analisi della stabilità e del comportamento dinamico.